在线av 国产 《我的寰宇》搞数学商讨，估算欧拉数错误仅0.00766%！|黎曼|访佛值|特地数|f(x)
在《我的寰宇》里估算欧拉数e在线av 国产，错误仅约0.00766%！
两位数学博士“跨界”整了个大大大活儿——
用《我的寰宇》搞数学商讨，通过游戏机制告捷估算各样数学常数的值。
√2、π、欧拉数e、阿佩里常数ζ(3)，难度逐级递加，但王人是他们的践诺对象。
关于阿佩里常数ζ(3)，用这两位作家的话说，一般东说念主可能见王人没见过，但也能用《我的寰宇》访佛算出值来，而且错误仅约为0.4%。
践诺市欢游戏机制用到了各样尺度，比如访佛π值时，使用了蒙特卡洛积分法，借助游戏中的僵尸疣猪兽杀死史莱姆来完成。
两位作家分辨是来自自霍林斯大学、好意思国罗诺克大学的助理讲授。
论文中，他们不仅先容了每个常数的数学历史配景，详备讲明了如安在《我的寰宇》中打算践诺来访佛计较这些值，甚而还建议了具体的改造建议，为大伙儿留住了“课后功课”来挑战。
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作家强调这些践诺的见识不是为了取得最精准的访佛值，而是为了引发各人从这项商讨中找到灵感，用真理的形势探讨复杂的数常识题。
但愿本文能够展示一小部分数学与《我的寰宇》市欢的可能性，并激励东说念主们以真理和令东说念主陶醉的形势探索复杂的数学主题。固然咱们聘用使用《我的寰宇》来访佛特地数，但咱们信赖还有很多其它环境恰当进行此类践诺。
是以，究竟是若何作念到的？
用《我的寰宇》访佛数学常数的值
在估算数学常数前，先来淡淡了解一下《我的寰宇》中将被用作“践诺说念具”的材料。
漏斗（Hopper）：
要是一个玩家/动物/怪物站在漏斗上方被杀死，那么漏斗会蚁集该生物掉落的物品。因此，漏斗不错用来记载生物被杀死的位置。
除蚁集物品外，漏斗还具有另一个特质，它们不错以每秒2.5个物品的恒定速率开释物品。漏斗开释物品的才调不错开启或关闭。
由于漏斗以恒定速率开释物品，它们不错用作计时器。举例，要是一个漏斗开释了25个物品，那么咱们知说念漏斗开释物品的时刻在10秒到10.4秒之间。
天然《我的寰宇》中有制作更精准计时器的尺度，但关于该践诺来说，漏斗计时器够用。
投掷器（dropper）：
投掷器是一个不错投掷物品的方块，可同期容纳9种不同物品。
当被激活时，投掷器会立地聘用其中的一个物品进行投掷。因此，投掷器不错用作立地化器用。举例，要是投掷器中有5种不同的物品，那么特定物品被投掷出去的概率是1/5。
侦测器（observer）：
侦测器是一个方块更新检测器，不错检测到它濒临的方块情状是否发生变化。
一个方块可能发生的变化包括作物滋长、冰熔化、火势膨胀……这些变化是立地发生的，因此不错通过侦测器检测这些变化来创建一个立地化器用。
接下来就不错玩“数学游戏”啦～
PS：题目难度由简入难
√2
早在2000多年前，毕达哥拉斯家数用反证法解说了√2不行写稿两整数之比，√2也成为了东说念主们发现的第一个特地数。
当今，√2亦然该商讨第一个要用《我的寰宇》估算的数学常数。
尺度哄骗了45°-45°-90°直角三角形的边长比是1 : 1 : √2。
这样的三角形在《我的寰宇》中很容易制作，因为《我的寰宇》中，搁置任何方块王人必须放在网格上。
要访佛计较√2的值，不错简便地分辨测量玩家以恒定速率沿着一条直角边和斜边行走所需的时刻，斜边长度是直角边的√2倍，行交运刻比率也应该访佛为√2。
如前所述，漏斗以恒定速率开释物品，不错计较玩家行走手艺所开释的物品数目，以此来计时。
践诺中，沿着斜边行走完，漏斗开释了57个物品，沿着一条直角边行走完，漏斗开释了41个物品。
是以得出：
√2保留到极少点后四位是√2=1.4142，是以访佛值错误为1.70%。
作家还默示这种尺度还不错改造：
一个很剖析的改造尺度是构建一个更大的三角形，访佛值将更准确。或者不错让行走速率变慢，玩家不错在开赴前喝下冉冉药水。
依此类推不错估算√5的值，但√7不行，7不行默示为两个全王人闲居数的和。
这引出了一个问题：哪些数字不错默示为两个闲居数的和？
作家觉得关于几何学诚笃来说，不错使用这样的践诺向几何学生先容基本的数论。
下一个要估算的数学常数是——
1768年约翰·海因里希·朗伯（Johann Heinrich Lambert）解说π是特地数。1882年费迪南德·冯·林德曼（Carl Louis Ferdinand von Lindemann）初度解说π是高出数。
希腊数学家阿基米德通过在圆表里构建正多边形，为π的值找到了险阻界。当使用96边形时，阿基米德发现3.1408<π<3.1429。
计较机的发展带来了计较π值的不同尺度。蒙特卡洛尺度等于其中一类，通过评估屡次立地锤真金不怕火的效果来访佛值。
蒙特卡洛尺度中的一种，蒙特卡洛积分，通过绘图一个内切于正方形的单元圆，然后在正方形内均匀立地地散布点。
由于圆的面积是π，正方形的面积是4，圆内点的数目与总点数的比将大致等于π/4。
《我的寰宇》中相似不错重现蒙特卡洛积分法，访佛计较π值。
《我的寰宇》中的每个方块王人搁置在网格上，是以无法制作一个好意思满的圆形。然则，网上有很多器用不错在《我的寰宇》中访佛规矩一个圆的范围。
作家使用了一个《我的寰宇》圆形生成器，作念了一个半径为11的访佛圆形：
接下来的问题是找一种在《我的寰宇》中生诞生地点的尺度。
为此，作家哄骗了一种叫作念“史莱姆”的生物的举止。使用史莱姆是因为与其他生物不同，当隔邻莫得玩家时史莱姆会连续出动，而况它们会立地蜕变场所。
而大无数其他生物有向东南边向行走的倾向，是以它们集积蓄在正方形的东南角。
接撰述者们让另一种生物——僵尸疣猪兽（zoglin），杀死史莱姆，使用漏斗追踪史莱姆是否在圆内被杀死。
在践诺中，共有619个史莱姆被杀死，其中508个是在圆内被杀死的。
是以得到了访佛值：
访佛错误为4.49%。
因为蒙特卡洛尺度时常料理较慢，是以作家默示对这个相对较大的错误并不骇怪。
要是童鞋们我方念念尝试的话，改造尺度：增大圆的大小和增多被杀死的史莱姆数目。
在这种蒙特卡洛尺度中，圆的大小时常不会影响访佛值的准确性，但由于在《我的寰宇》中无法制作好意思满的圆形，增大圆的大小将提升访佛值的准确性。
相似，用来访佛计较π值的尺度，也不错用来访佛计较其它定积分的值。
举例，假定你念念使用《我的寰宇》进行蒙特卡洛积分以访佛计较积分：
通过作家创建的Desmos页面的匡助，不错绘图出y=f(x)弧线与x轴之间的区域。
回念念一下，定积分∫ₐᵇf(x) dx的值是由弧线y=f(x)与x轴在x=a到x=b之间围成的区域的净面积。
因此，在《我的寰宇》中访佛计较定积分的一个尺度是，最初找出在x轴上方区域和x轴下方区域亏本的史莱姆数目之间的相反。
将这个相反乘以总面积再除以亏本的史莱姆总和，就不错得到定积分值的访佛值。在《我的寰宇》中，不错用底下这个函数访佛弧线y=f(x)：
这里⌊x⌉将x四舍五入到最近的整数。
作家们默示这可能是一个真理的践诺，适用于正在学习积分微积分的学生。
欧拉数e
接下来连续上难度——欧拉数e，欧拉数e的值保留到极少点后五位是e=2.71828。
各人可能紧记e是天然对数的底数，亦然复合利息公式的一部分。它被界说为以下极限：
固然以e为底的对数计较早在1618年就仍是开动，但那时并莫得使用e这个标志。
所谓的e“发现”最早是由雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli）在1638年商讨协调复利时未必发得出的，他尝试计较上述极限，哄骗二项式定清爽说了e的值在2和3之间，但其时e还莫得一个具体的名字或更精准的访佛值。
欧拉（Euler）最终将对数与e这个数有关起来，他计较了上述极限，并用标志e默示其值，1737年解说了e是特地数。到了1873年，查尔斯·埃尔米特（Charles Hermite）进一步解说了e是高出数。
话说转头，在《我的寰宇》中访佛e的值，要了解欧拉1748年建议的e的抒发式：
当今探究函数f(x)=eᕽ，这个函数不错用它的麦克劳林级数默示为：
把稳，当x=−1时，得到到1/e的交错级数伸开式：
咱们将看到，这个抒发式的第n个部分和是一个特定计数问题的解。
当今描写这个问题，令：
界说：[n]的胪列是[n]中元素的一个笃信顺次的胪列。
[n]的胪列不错看作数字1到n的线性排序。举例，[3]的胪列包括123、132、213、231、312和321。[n]的胪列总和是：
这个乘积传统上用n!默示。
界说：一个错位胪列是莫得固定点的[n]的胪列。
换句话说，要是ω是[n]的一个胪列，那么那么当且仅当
ω是一个错位胪列。
举例，探究[6]的以下胪列：ω=324165。这不是一个错位胪列，因为数字2在第二个位置，即ω₂=2。
然则，胪列ν=431562是一个错位胪列，因为：
咱们用D(n)默示[n]的错位胪列数，不错解说：
相比等式（2）和（3），不错看到
给出了等式（2）的第n个部分和。
因此，不错看到1/e访佛等于立地胪列是错位胪列的概率。稀奇地：
了解了这些事后，在《我的寰宇》中若何访佛计较？
两位作家制造了一台机器，这台机器能：
生成一个胪列检查该胪列是否为错排
一朝机器被制造出来，就让它运行屡次，生成充足大的样本。
如前所述，投掷器不错用作立地器。由于投掷器最多不错容纳9种不同的物品，是以不错哄骗其立地弹出机制来创建 [9]的胪列。
投掷器中的每个格子对应[9]中的一个数字。弹出的物品的顺次不错被视为一个胪列。而且在《我的寰宇》中是有尺度不错自动检查投掷器弹出了哪个物品。
具体若何操作这里就未几赘述了。
因此，不错制造一台机器来检查所生成的胪列是否为错排。这是通过检查与某个数字对应的格子是否在阿谁位置被弹出来竣事的。
要是9个格子中的每一个王人被弹出到了与它们编号分歧应的位置，那么这个胪列等于一个错排。
作家在践诺生成的胪列中，错排比例梗概是1/e。也等于说：
共生成了647个胪列，其中238个是错排。是以e的访佛值：
访佛错误梗概是0.00766%，准确度终点高了。
作家默示要是让机器无穷运行，1/e的访佛错误将小于：
两位作家相似再次饱读吹各人我方尝试一下，大致还能搞个新界说：
要是一个胪列ω的条件瓜代高潮和着落，那么称这个胪列为交错胪列，即ω1<ω2>ω3< ….举例，胪列1423是交错的，但胪列1342不是，因为ω2≯ ω3。要是让An默示[n]的交错胪列数，那么安德烈定理（André’s Theorem）标明：
这意味着你不错使用《我的寰宇》来访佛计较sec(1)+tan(1)的值。
叮嘱完“课后功课”，两位助理讲授还挑升留住这样一句话：
要是你完成了这个践诺，请有关作家并告诉咱们你的效果。
还没完，还有一个数学常数，而且可能是你往常未始见过的。
用作家的话说，即使你遭受过它，可能也不知说念它有一个名字——
阿佩里常数ζ(3)
ζ(3)，被界说为正立方数倒数的和，即：
之是以被记为ζ(3)，是因为它是在s=3时黎曼ζ函数（Riemann zeta function）的值。
一般来说，黎曼ζ函数界说为：
欧拉解说了黎曼ζ函数的以下乘积公式：
阿佩里常数的值保留到极少点后五位是ζ(3) = 1.20205。
1979年，罗杰·阿佩里（Roger Apéry）解说了ζ(3)是特地数。这个数字是否是高出数咫尺仍然是一个未惩办的问题。
阿佩里常数有各样级数和积分的默示神气。其中一些默示神气终点复杂。
然则，作家默示阿佩里常数的值不错通过概率尺度笃信，阿佩里常数的倒数是立地考取的即兴三个正整数互质的概率。
为什么：
要使三个正整数互质，就不行有任何质数同期整除这三个数。举例，6、9、21不是互质的，因为它们王人不错被3整除。关于一个质数p，p整除一个立地整数的概率是1/p。因此，p同期整除这三个数字的概率是1/p³。
这意味着至少有一个数字不被p整除的概率是：
让P₃默示三个立地选择的正整数互质的概率，由此得出：
相比等式（4）和（5），不错看出：
OK，那在《我的寰宇》中若何访佛计较阿佩里常数。
作家们反复生成了三个立地数的齐集，称为三元组，并手动检查这些数字是否互质。互质的三元组的比例将梗概等于 ζ(3) 的倒数。
如前文所述，《我的寰宇》中侦测器能够检测到它濒临的方块情状的变化。
而《我的寰宇》中很多方块会在立地散伙蜕变情状。时常，每0.05秒，游戏立地聘用一个16×16×16的立方体中的3个方块来蜕变情状。要是选择的方块有蜕变情状的才调，它们将以一定的预定概率蜕变情状。
为了生成一个立地数三元组，作家安排了三个侦测器，每个侦测器濒临我方的竹子植物，还使用了一个漏斗计时器来记载每个竹子植物蜕变情状所需的时刻。
belike：
需要把稳的是，生成的立地数并不明任均匀散布，而是解任负二项散布。
在践诺中，作家蚁集了70个立地数三元组，发现58个三元组是互质的。
于是得到ζ(3)的访佛值：
访佛错误约为0.4%。
作家补充说念，这种尺度生成的数字限制在最小3和最大838之间，在获取等闲各样的数字方面比预期作念得更好。
最其后看“课后功课”。
回念念一下，三个立地考取的正整数互质的概率是 ζ(3)⁻¹。
一般来说，Pm，即立地均匀聘用的m个正整数互质的概率，是ζ(m)⁻¹。
这意味着你不错使用上述尺度来访佛各样m值的ζ(m)。稀奇是，你不错访佛π的任何偶数次幂的值，因为ζ(2k)老是π的2k次方的有理倍数。
举例，由于ζ(2)=π²/6，因此：
这意味着不错通过生成一双数字并检查它们是否互质来访佛π²的值。
关于那些寻求挑战的东说念主，还可尝试通过在《我的寰宇》中制造一个机器来自动化检查经由，该机器不错找到两个正整数的最大左券数。要是最大左券数是1，那么这些数字等于互质的。
作家默示：
制造这台机器可能会很波折，但并非不可能在《我的寰宇》中完成。
好嘛，有哪位一又友挑战一下下～
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